Historia...

Lógica Matemática fue el nombre dado por Giuseppe Peano para esta disciplina. En esencia, es la lógica de Aristóteles, pero desde el punto de vista de una nueva notación, más abstracta, tomada del álgebra.
Previamente ya se hicieron algunos intentos de tratar las operaciones lógicas formales de una manera simbólica por parte de algunos filósofos matemáticos como Leibniz y Lambert, pero su labor permaneció desconocida y aislada.
Fueron George Boole y Augustus De Morgan, a mediados del siglo XIX quienes primero presentaron un sistema matemático para modelar operaciones lógicas. La lógica tradicional aristotélica fue reformada y completada, obteniendo un instrumento apropiado para investigar sobre los fundamentos de la matemática.
El tradicional desarrollo de la lógica enfatizaba su centro de interés en la forma de argumentar, mientras que la actual lógica matemática lo centra en un estudio combinatorio de los contenidos. Esto se aplica tanto a un nivel sintáctico (por ejemplo, el envío de una cadena de símbolos perteneciente a un lenguaje formal a un programa compilador que lo convierte en una secuencia de instrucciones ejecutables por una máquina), como a un nivel semántico, construyendo modelos apropiados (teoría de modelos).

Aristóteles y la lógica

La lógica es conocida como una de las ciencias más antiguas, tanto es así que se le atribuye a Aristóteles la paternidad de esta disciplina Partiendo de que corresponde a Aristóteles haber sido el primero en tratar con todo detalle la lógica, se le considera pues ser su fundador. En un principio se llamó Analítica, en virtud del titulo de las obras en que trató los problemas lógicos. Más tarde los escritos de Aristóteles relativos a estos eventos fueron recopilados por sus discípulos con el titulo de Organon, por considerar que la lógica era un instrumento para el conocimiento de la verdad. Aristóteles se planteo cómo es posible probar y demostrar que un conocimiento es verdadero, es decir, que tiene una validez universal. Aristóteles encuentra el fundamento de la demostración en la deducción, procedimiento que consiste en derivar un hecho particular de algo universal. La forma en que se afecta esa derivación es el silogismo, por cuya razón la silogística llega a ser el centro de la lógica aristotélica.

Lógica proposicional

Evaluación de verdad de una fórmula lógica

A partir de la diferenciación del valor de verdad de cada una de las conectivas definidas, se puede establecer un procedimiento para evaluar una fórmula lógica más compleja, donde aparezcan las combinaciones de las conectivas citadas de la siguiente manera:

Paso 1- en la formula lógica se identifica la cantidad de variables proposicionales distintas que intervienen que se simbolizará por n, las conectivas unitarias y las conectivas binarias.

Paso 2- se calculas las combinaciones de valores de verdad de las variables proposicionales mediante la fórmula

Paso 3- se construye una matriz con filas en las que la primera fila se asigna la denominación de una columna para cada variable proposicional, negación de variable proposicional, conectiva binaria, negación de conectiva binaria. En las columnas correspondientes a las variables proposicionales para cada fila se escribe una de las posibles combinaciones de valores de verdad calculadas en el paso 2.

Paso 4- se evalúa cada columna de izquierda a derecha usando las reglas de definición de las conectivas.

Clasificación de las formulas lógicas según su valor de verdad

La evaluación de la tabla de verdad de una formula lógica cualesquiera, permite
efectuar la clasificación de las mismas en tautologías,
contradicciones, y contingencias.

-Fórmula tautológica: su valor de verdad es verdadero, independientemente de los valores de verdad de las proposiciones atómicas. Se dice que la fórmula es tautología. (Se les dice también Semánticamente válida).

-Fórmula contingente: las valoraciones son verdaderas y falsas, es una función de verdad porque los valores dependen de los valores de verdad de las proposiciones. La fórmula es una contingencia. (Se les dice también Satisfascible).

-Fórmula contradictoria: tiene siempre el valor falso independientemente del valor de verdad de las variables. Se dice que la fórmula es una contradicción. (Se les dice también Insatisfacible).

Equivalencias lógicas

-Ley de la doble negación o Ley de involución: ¬(¬p)<=>p
-Ley de De Morgan: ¬(p ^ q)<=>(¬p v q) ; ¬(p v q)<=>(¬p ^¬q)
-Leyes conmutativas: (p ^ q)<=>(q ^ p) ; (p v q)<=>(q v p)
-Leyes asociativas: p ^ (q ^ r)<=>(p ^ q) ^r ; p v (q v r)<=>(p v q) v r
-Leyes distributivas: p ^ (q v r)<=>(p ^ q) v (p ^ r) ; p v (q ^ r)<=>(p v q) ^ (p v r)
-Leyes idempotentes: p ^ p<=>p ; p v p<=>p
-Leyes de identidad: p ^ To<=>p ; p v Fo<=>p
-Leyes inversas: p ^ ¬p<=>Fo ; p v ¬p<=>To
-Leyes de dominación: p ^ Fo<=>Fo ; p v To<=>To
-Leyes de absorción: p<=>p ^ (p v q) ; p<=>p v (p ^ q)

Otras...
-Definición de condicional: p -> q<=> ¬p v q
-Negación de condicional: ¬(p -> q)<=>p ^ ¬q
-Condicionales contrarrecíprocos: p -> q<=> ¬q -> ¬p ; q -> p<=> ¬p -> ¬q
-Definición de bicondicional: p <-> q <=>(p -> q) ^ (q -> p)

Construcción de tablas de verdad

Videos vinculados a youtube.

VIDEO 1: en este video se demuestran los pasos que hay que realizar para demostrar mediante el uso de la tabla de verdad una equivalencia lógica, en este caso se trata de la Ley de absorción.



VIDEO 2: en este video se van aplicando las diferentes equivalencias lógicas para demostrar que las dos fórmulas lógicas son equivalentes.



VIDEO 3: en este video se van aplicando las diferentes equivalencias lógicas para demostrar una de ellas, en este caso de trata de la negación de un condicional.



VIDEO 4: en este video se utiliza la tabla de verdad para demostrar unas equivlencias lógicas, en este caso se trata de las Leyes inversas.